Question

已知多面體ABCDFE中， 四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD， O、M分別為AB、FC的中點，且AB = 2，AD = EF = 1.

（1）求證：AF⊥平面FBC；

（2）求證：OM∥平面DAF；

（3）設(shè)平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為VF-ABCD，VF-CBE，求VF-ABCD∶VF-CBE 的值.

 

Answer 1

（1）（2）見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）要證,則需要證明與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,而根據(jù)題意已知,故只需再根據(jù)題意平面⊥平面,可證,從而證明,則可證明結(jié)論.

（2）要證∥平面,則需要在平面內(nèi)找一條直線與平行,根據(jù)點都是中點的特點, 取中點,證明四邊形為平行四邊形,即有∥,則可證明結(jié)論.

（3）要求體積比,首先得找到體積,根據(jù)題意可知,分割后形成了兩個棱錐,一個四棱錐,一個三棱錐;根據(jù)棱錐的體積公式,得找到底面積和高,而其中四棱錐的底面和高比較容易確定,而三棱錐中關(guān)鍵是確定底面和高,確定的依據(jù)就是是否有現(xiàn)成的線面垂直,顯然,所以確定底面為高.最后分別求體積做比值即可.

試題解析：（1）平面⊥平面 ，平面平面,

平面，而四邊形為矩形,

. 平面

則,

（2）取中點，連接，則∥，且，又四邊形為矩形，

∥，且 四邊形為平行四邊形，∥

又平面，平面 ∥平面

（3）過作于 ，由題意可得：平面.

所以:.

因為平面, 所以

所以

考點：面面垂直,線面垂直,線線垂直;線面平行的判定;棱錐體積轉(zhuǎn)化及計算.