Question

4．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），g（x）=log₂（2-|x+1|）
（1）寫出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若y=a 與函數(shù)g（x）的圖象恰有1個公共點(diǎn)M，N 是f（x）圖象上的動點(diǎn)．求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)g（x）的定義域，通過討論x的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，輸出對應(yīng)的M、N的坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出|MN|的最小值即可．

解答 解：（1）由2-|x+1|＞0，解得：-3＜x＜1，
故函數(shù)g（x）的定義域是（-3，1），
-3＜x＜-1時，g（x）=log₂（x+3）是增函數(shù)，
-1＜x＜1時，g（x）=log₂（-x+1）是減函數(shù)，
即g（x）的增區(qū)間是（-3，-1），減區(qū)間是（-1，1）；
（2）g（x）=log₂（2-|x+1|）的值域是（-∞，1]，
故a＜1時，g（x）與y=a的圖象有2個公共點(diǎn)，
a=1時，g（x）與y=a的圖象僅有1個公共點(diǎn)，
故a=1，此時M（-1，1），
設(shè)N（x₀，$\frac{1}{{x}_{0}}$），（x₀＞0），
則|MN|²=${{（x}_{0}+1）}^{2}$+${（\frac{1}{{x}_{0}}-1）}^{2}$=${{x}_{0}}^{2}$+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$+2（x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$）+2=${{（x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}+1）}^{2}$+3，
故|MN|的最小值是3，此時x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$+1=0，解得：x₀=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時，|MN|的最小值是3．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．