Question

15．已知f（x）=kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集為（-1，5），不等式$\frac{x}{f（x）}≥1$的解集A．
（1）求集合A；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log₂（ax²-2x+2）的定義域為B，若A∩B≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問題等價為|f（-1）|=3且|f（5）|=3，解出k即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為：不等式ax²-2x+2＞0在[1，2）上有解，再用分離參數(shù)法求解即可．

解答 解：（1）因為不等式|f（x）|＜3的解集為（-1，5），
所以，|f（-1）|=3且|f（5）|=3，
即|-k+2|=|5k+2|=3，
解得k=-1，f（x）=-x+2，
不等式$\frac{x}{f（x）}≥1$可寫成，$\frac{x-1}{x-2}$≤0，
解得，x∈[1，2），即A=[1，2）；
（2）∵函數(shù)g（x）=log₂（ax²-2x+2）的定義域為B，
且A∩B≠∅，∴問題等價轉(zhuǎn)化為：
不等式ax²-2x+2＞0在[1，2）上有解，
分離參數(shù)得，a＞2（-$\frac{1}{x^2}$+$\frac{1}{x}$），其中$\frac{1}{x}$∈（$\frac{1}{2}$，1]，
所以，a＞[2（-$\frac{1}{x^2}$+$\frac{1}{x}$）]_min，
由于，-$\frac{1}{x^2}$+$\frac{1}{x}$=-（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∈[0，$\frac{1}{4}$），
所以，a＞0，
故實數(shù)a的取值范圍為：（0，+∞）．

點評 本題主要考查了含絕對不等式的解法，以及對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．