Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得S_n=a_m，則稱數(shù)列{a_n}是“E數(shù)列”．
（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ（n∈N^*），判斷數(shù)列{a_n}是否為“E數(shù)列”，并說(shuō)明理由；
（2）數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)b₁=1，公差d＜0，數(shù)列{b_n}是“E數(shù)列”，求d的值；
（3）證明：對(duì)任意的等差數(shù)列{a_n}，總存在兩個(gè)“E數(shù)列”{b_n}和{c_n}，使得a_n=b_n+c_n（n∈N^*）成立．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用a₁=S₁，a_n=S_n-S_n-1，（n＞1），可得a_n，再由新定義即可判斷；
（2）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，可得m，再由新定義即可求得d=-1；
（3）若d_n=bn（b是常數(shù)），求得前n項(xiàng)和，設(shè)b_n=na₁，c_n=（d-a₁）（n-1），再由新定義可得則a_n=b_n+c_n，即可得證．

解答 解：（1）由S_n=3ⁿ（n∈N^*），且a₁=S₁，a_n=S_n-S_n-1，（n＞1），
可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2•{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，當(dāng)n=2時(shí)，9=2•3^n-1，得m∉N^*，所以不是“E數(shù)列”；
（2）由數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)b₁=1，公差d＜0，
可得n+$\frac{n（n-1）}{2}$d=1+（m-1）d，即為m=$\frac{n-1}wintzcz$+$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
$\frac{n（n-1）}{2}$為非負(fù)整數(shù)，所以首先$\frac{n-1}h5wtrfn$要恒為整數(shù)，d為所有非負(fù)整數(shù)的公約數(shù)且d＜0，
所以d=-1；
（3）證明：首先，若d_n=bn（b是常數(shù)），
則數(shù)列{d_n}前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$b是數(shù)列{d_n}中的第$\frac{n（n-1）}{2}$項(xiàng)，
因此{(lán)d_n}是“E數(shù)列”，
對(duì)任意的等差數(shù)列{a_n}，a_n=a₁+（n-1）d（d為公差），
設(shè)b_n=na₁，c_n=（d-a₁）（n-1），
則a_n=b_n+c_n，
而數(shù)列{b_n}，{c_n}都是“E數(shù)列”，
故對(duì)任意的等差數(shù)列{a_n}，總存在兩個(gè)“E數(shù)列”{b_n}和{c_n}，
使得a_n=b_n+c_n（n∈N^*）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．