Question

20．記數(shù)列{2n}的前n項和為a_n，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=n-11，則b_nS_n的最小值為-6．

Answer 1

分析 利用裂項相消法計算可知S_n=1-$\frac{1}{n+1}$，進而可知b_nS_n=n+$\frac{12}{n+1}$-12，通過記f（x）=x+$\frac{12}{x+1}$，利用導數(shù)可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2$\sqrt{3}$-1）單調(diào)遞減，在（2$\sqrt{3}$-1，+∞）上單調(diào)遞增，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，a_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
則b_nS_n=（n-11）（1-$\frac{1}{n+1}$）=n+$\frac{12}{n+1}$-12，
記f（x）=x+$\frac{12}{x+1}$，則f′（x）=1-$\frac{12}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-11}{（x+1）^{2}}$，
令f′（x）=0，即x²+2x-11=0，解得：x=±2$\sqrt{3}$-1，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2$\sqrt{3}$-1）單調(diào)遞減，在（2$\sqrt{3}$-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵b₂S₂=2+4-12=-6，b₃S₃=3+3-12=-6，
∴b_nS_n的最小值為-6，
故答案為：-6．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．