Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
（Ⅰ）求sinC的值；
（II）設(shè)D為AC的中點(diǎn)，若△ABC的面積為8$\sqrt{5}$，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積和正玄定理得出sinB•cosA=sinA•cosB，根據(jù)三角公式得出A=B，根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可．
（2）利用面積公式，以及余弦定理求解即可．

解答 解：在△ABC中，∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，
∴c•b•cosA=c•a•cosB，
即b•cosA=a•cosB，
sinB•cosA=sinA•cosB，
sin（A-B）=0，
∴A=B，
∵sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴sinC=sin（π-2A）=sin（2A）=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{5}}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．
（2）設(shè)AC=BC=m，
∵△ABC的面積為8$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}×{m}^{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{9}$=$8\sqrt{5}$，
m=3$\sqrt{2}$，cosC=$\frac{1}{9}$，
根據(jù)余弦定理得出：
BD²=m²$+\frac{{m}^{2}}{4}$$-2×m×\frac{m}{2}$×$\frac{1}{9}$=$\frac{41}{36}$m²=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{41}{2}}$
BD=$\frac{\sqrt{82}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積以及正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，在判斷三角形形狀時(shí)，要注意對(duì)角的范圍進(jìn)行分析，即求角的大小需要兩個(gè)條件：該角的一個(gè)三角函數(shù)值和該角的范圍，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的數(shù)學(xué)工具