Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知cosB（tanAtanB+tanCtanB）=tanAtanC，
（1）求證：a，b，c成等比數(shù)列；
（2）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,余弦定理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形

分析：（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系式將條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦定理和余弦定理，以及等比數(shù)列的定義即可證明a，b，c成等比數(shù)列；
（2）根據(jù)條件求出b，結(jié)合余弦定理求出cosB，利用三角形的面積公式即可求△ABC的面積S．

解答： （1）證明：由cosB（tanAtanB+tanCtanB）=tanAtanC，
得cosB（

sinAsinB

cosAcosB

+

sinCsinB

cosBcosC

）=

sinCsinA

cosAcosC

，
即

sinAsinB

cosA

+

sinCsinB

cosC

=

sinCsinA

cosAcosC

，
則sinAsinBcosC+cosAsinBsinC=sinAsinC，
由正弦定理和余弦定理得ab•

a2+b2-c2

2ab

+bc•

b2+c2-a2

2bc

=ac，
即a²+b²-c²+b²+c²-a²=2ac，
則2b²=2ac，
即b²=ac，故a，b，c成等比數(shù)列．
（2）∵b²=ac，
∴當(dāng)a=1，c=2時(shí)，b²=ac=2，即b=

2

，
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1+4-2

2×1×2

=

3

4

，
∴sinB=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，
則三角形的面積S=

1

2

acsinB=

1

2

×1×2×

7

4

=

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判斷，以及正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．