Question

20．已知拋物線y²=2px（1＜p＜3）的焦點為F，拋物線上的點M（x₀，1）到準線的距離為$\frac{5}{4}$
（1）求拋物線的標準方程；
（2）設(shè)直線MF與拋物線的另一交點為N，求$\frac{|MF|}{|NF|}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}}\\{2p{x}_{0}=1}\end{array}\right.$，解得即可求出p的值，寫出拋物線的方程即可；
（2）先求出直線MF的方程為4x+3y-4=0，聯(lián)立方程得方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{4x+3y-4=0}\end{array}\right.$，求出x，y的值，由由焦半徑公式|MF|=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$，|NF|=4+1=5，問題得以解決．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}}\\{2p{x}_{0}=1}\end{array}\right.$，消去x₀得2p²-5p+2=0，因為1＜p＜3，解得p=2，
所以x₀=$\frac{1}{4}$，所以拋物線標準方程為y²=4x．
（2）因為F（1，0），M（$\frac{1}{4}$，1），所以k_MF=-$\frac{4}{3}$，直線MF的方程為4x+3y-4=0，
聯(lián)立方程得方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{4x+3y-4=0}\end{array}\right.$，消去x得y²+3y-4=0，解得y=-4或1，將y=-4代入y²=4x，解得x=4，
由焦半徑公式|MF|=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$，|NF|=4+1=5，
所以$\frac{|MF|}{|NF|}$=$\frac{\frac{5}{4}}{5}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了拋物線的標準方程，焦半徑公式，方程組的解法，培養(yǎng)了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．