Question

10．設a，b，c∈R⁺．求證：
（1）ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）≥6abc；
（2）（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b+c}$）≥4．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c＞0，可得ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）=b（a²+c²）+a（b²+c²）+c（a²+b²），再由重要不等式a²+b²≥2ab，即可得證；
（2）運用基本不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$，再由不等式的性質：可乘性，即可得證．

解答 證明：（1）由a，b，c＞0，
可得ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）
=b（a²+c²）+a（b²+c²）+c（a²+b²）
≥b•2ac+a•2bc+c•2ab=6abc，
當且僅當a=b=c取得等號；
（2）由a，b，c＞0，可得
a+b+c≥2$\sqrt{a（b+c）}$，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b+c}$≥2$\sqrt{\frac{1}{a（b+c）}}$，
即有（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b+c}$）≥2$\sqrt{a（b+c）}$•2$\sqrt{\frac{1}{a（b+c）}}$=4，
當且僅當a=b+c取得等號．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用基本不等式和不等式的性質，考查運算和推理能力，屬于基礎題．