Question

11．若圓x²+（y-1）²=r²與曲線（x-1）y=1沒有公共點，則半徑r的取值范圍是（　　）

• A． 0＜r＜$\sqrt{2}$
• B． 0＜r＜$\frac{\sqrt{11}}{2}$
• C． 0＜r＜$\sqrt{3}$
• D． 0＜r＜$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，設圓與曲線y=$\frac{1}{x-1}$相切的切點為（m，n），代入曲線的方程，求出函數的導數和切線的斜率，由兩點的斜率公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得切點，進而得到此時圓的半徑，結合圖象即可得到所求范圍．

解答 解：圓的圓心為（0，1），半徑為r
設圓與曲線y=$\frac{1}{x-1}$相切的切點為（m，n），
可得n=$\frac{1}{m-1}$，①
y=$\frac{1}{x-1}$的導數為y′=-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
可得切線的斜率為-$\frac{1}{（m-1）^{2}}$，
由兩點的斜率公式可得$\frac{n-1}{m-0}$•（-$\frac{1}{（m-1）^{2}}$）=-1，
即為n-1=m（m-1）²，②
由①②可得n⁴-n³-n-1=0
化為（n²-n-1）（n²+1）=0，
即有n²-n-1=0，解得n=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\\{n=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$．
可得此時圓的半徑r=$\sqrt{{m}^{2}+（n-1）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
結合圖象即可得到圓與曲線沒有公共點的時候，
r的范圍是（0，$\sqrt{3}$）．
另解：設雙曲線與y軸交于B，延長BO'交雙曲線于C，
O'A=O'B=$\sqrt{2}$，BC⊥AO'，
建立直角坐標系xO'y，雙曲線的方程為x²-y²=2，
由AO'=$\sqrt{2}$，A在新坐標系下的坐標為（0，$\sqrt{2}$），
圓A方程變?yōu)閤²+（y-$\sqrt{2}$）²=r²，
x²=y²+2，代入圓方程可得y²+2+y²-2$\sqrt{2}$y+2-r²=0，
運用△=8-4×2×（4-r²）＜0，
解得-$\sqrt{3}$＜r＜$\sqrt{3}$，
由r＞0，可得r的范圍是（0，$\sqrt{3}$）．
故選：C．

點評 本題考查圓與曲線的位置關系的判斷，注意運用導數求得切線的斜率，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．