Question

16．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若關(guān)于x的方程k•f（x）=2^x在（0，1]上有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)：f（x）=-f（-x），列出方程求出a的值；
（2）先化簡方程k•f（x）=2^x，令t=2^x由x∈（0，1]求出t的范圍，分離出常數(shù)k并構(gòu)造函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性并求出函數(shù)的值域，即可求出k的取值范圍．

解答 解：（1）因為f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函數(shù)，
所以對定義域內(nèi)的x，都有f（x）=-f（-x），即f（x）+f（-x）=0，…（2分）
即$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$+$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x+1}-a}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}+\frac{{1+2}^{x}}{{2-a•2}^{x}}$=$\frac{（2-a）（{2}^{x+1}+{2}^{2x}+1）}{{（2}^{x+1}-a）（2-a•{2}^{x}）}$=0，
因為2^x+1+2^2x+1≠0，所以a=2…（4分）
（2）方程k•f（x）=2^x可化為：k•$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-2}$=2^x，
化為：2•2^2x-（k+2）•2^x-k=0，
令t=2^x（x∈（0，1]），t∈（1，2]…（6分）
所以2t²-（k+2）t-k=0，則$k=\frac{2{t}^{2}-2t}{t+1}$，
設(shè)y=$\frac{2{（t+1）}^{2}-6（t+1）+4}{t+1}$=$2（t+1）+\frac{4}{t+1}-6$…（8分）
因為y=$2（t+1）+\frac{4}{t+1}-6$在（1，2]上單調(diào)遞增，
所以y=$2（t+1）+\frac{4}{t+1}-6$的值域為$（0，\frac{4}{3}]$，…（11分）
故k的取值范圍是：$（0，\frac{4}{3}]$…（13分）

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點、方程的根與函數(shù)圖象的交點之間的轉(zhuǎn)化問題，以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．