Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，且底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為1，D是AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求證：平面A₁BD⊥平面C₁BD：
（3）求直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接PD，PD∥B₁C，問題得以解決．
（2）易證BD⊥平面A₁ACC₁，A₁D⊥平面C₁DB，問題得以證明．
（3）作AM⊥A₁D，M為垂足，∠APM就是直線AB₁與平面A₁BD所成的角，解三角形得．

解答： 解：（1）設(shè)AB₁，交A₁B于點P，連結(jié)PD，
∵D是AC的中點
∴PD∥B₁C，
∵B₁C?平面AB₁D，PD?平面AB₁D，
∴B₁C∥平面A₁BD；

（2）∵A₁A⊥底面ABC，BD?平面ABC
∴BD⊥A₁A，
又底面是邊長為2的正三角形，D是AC的中點．
∴BD⊥AC，
∵A₁A∩AC=A，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∴BD⊥A₁D，
∵在矩形A₁ACC₁中A₁A=1，AC=2
∴A₁D⊥C₁D，
∴A₁D⊥平面C₁DB，
∴平面A₁BD⊥平面C₁BD：
（3）作AM⊥A₁D，M為垂足，
由（2）知平面A₁BD⊥平面C₁BD：
∵平面A₁ACC₁∩平面A₁BD=A₁D，
∴AM⊥平面A₁BD，連接MP，則∠APM就是直線AB₁與平面A₁BD所成的角，
∵A₁A=1，AD=1，
∴在RtAA₁D中，AM=

2

2

，
∵AP=

1

2

AB1=

5

2

，
∴sin∠APM=

AM

AP

=

10

5

．
∴直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值

10

5

．

點評：本題在直三棱柱中證明線面平行和面面垂直和線面角的問題，著重考查了直三棱柱的性質(zhì)和空間平行、垂直位置關(guān)系的判定與證明等知識，屬于中檔題