Question

如圖，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=

2π

3

，PD=2

3

，E是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由線面垂直得PD⊥AC，由菱形性質(zhì)得BD⊥AC，由此能證明平面ACE⊥平面PBD．
（Ⅱ）分別以O(shè)A、OB、OE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PB-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∴AC⊥平面PBD，∵AC?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：分別以O(shè)A、OB、OE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（

3

，0，0），B（0，1，0），
C（-

3

，0，0），P（0，-1，2

3

），

AB

=(-

3

，1，0)，

AP

=(-

3

，-1，2

3

)，
由（1）知平面PBD的法向量為

n

=(1，0，0)，
設(shè)平面PAB的法向量為

m

=(x，y，z)，
則

m • AB =- 3 x+y=0 m • AP =- 3 x-y+2 3 z=0

，
取x=1，得

m

=(1，

3

，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

5

=

5

5

．
∴二面角A-PB-D的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．