Question

19．設A，B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上兩個相異的、不關于坐標軸對稱的點．求線段AB的中垂線在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可設AB所在直線方程為y=kx+m（k≠0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系得到AB的中點坐標，進一步寫出AB的垂直平分線方程，得到線段AB的中垂線在y軸上的截距，結合一元二次方程的判別式大于0求得截距的范圍．

解答 解：如圖，
由題意可設AB所在直線方程為y=kx+m（k≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y可得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
△=16k²m²-（4+8k²）（2m²-2）=16k²-8m²+8．
由△＞0，得$-\sqrt{1+2{k}^{2}}＜m＜\sqrt{1+2{k}^{2}}$．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$-\frac{4{k}^{2}m}{1+2{k}^{2}}+2m=\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
則AB的中點坐標為C（$-\frac{2km}{1+2{k}^{2}}，\frac{m}{1+2{k}^{2}}$）．
∴AB的垂直平分線方程為y-$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=$-\frac{1}{k}（x+\frac{2km}{1+2{k}^{2}}）$．
取x=0，得y=$-\frac{m}{1+2{k}^{2}}$．
∵$-\frac{m}{1+2{k}^{2}}∈（-（1+2{k}^{2}）^{-\frac{1}{2}}，（1+2{k}^{2}）^{-\frac{1}{2}}）$，
且$（1+2{k}^{2}）^{-\frac{1}{2}}$∈（0，1），
∴線段AB的中垂線在y軸上的截距的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓相交問題，訓練了根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、線段垂直平分線的性質等基礎知識的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．