Question

9．函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)．
（1）求φ的值．
（2）若f（x）圖象上的點關于M（$\frac{3}{4}$π，0）對稱．
①求ω滿足的關系式；
②若f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調函數(shù)，求ω的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是偶函數(shù)，可得sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），從而解得ϕ的值．
（2）圖象關于點M（ $\frac{3}{4}$π，0）對稱，可得函數(shù)關系f（$\frac{3}{4}$π-x）=-f（$\frac{3}{4}$π+x），可得ω的可能取值，結合單調函數(shù)可確定ω的值．

解答 解：（1）由f（x）是偶函數(shù)，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
對任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依題設0≤φ≤π，所以解得φ=$\frac{π}{2}$，
（2）①由f（x）的圖象關于點M對稱，得f（$\frac{3}{4}$π-x）=f（$\frac{3}{4}$π+x），
取x=0，得f（$\frac{3}{4}$π）=sin（$\frac{3ωπ}{4}$+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{3ωπ}{4}$，
∴f（$\frac{3}{4}$π）=sin（$\frac{3ωπ}{4}$+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{3ωπ}{4}$，
∴cos$\frac{3ωπ}{4}$=0，
又w＞0，得$\frac{3ωπ}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω=$\frac{2}{3}$（2k+1），k=0，1，2，…
②由于ω=$\frac{2}{3}$（2k+1），k=0，1，2，…
當k=0時，ω=$\frac{2}{3}$，f（x）=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上是減函數(shù)，滿足題意；
當k=1時，ω=2，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x，在[0，$\frac{π}{2}$]上是減函數(shù)，滿足題意；
當k=2時，ω=$\frac{10}{3}$，f（x）=sin（$\frac{10}{3}$x+$\frac{π}{2}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上不是單調函數(shù)；
所以，綜合得ω=$\frac{2}{3}$或2．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象、單調性、奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計算能力，屬于中檔題．