Question

4．首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題．某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為$y=\frac{1}{2}{x^2}-200x+45000$，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為200元．
（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損？

Answer 1

分析 （1）由題意月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系可近似的表示為：y=$\frac{1}{2}$x²-200x+45000，兩邊同時除以x，然后利用基本不等式從而求出最值；
（2）設該單位每月獲利為S，則S=200x-y，把y值代入進行化簡，然后運用配方法進行求解

解答 解：（1）由題意可知，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為$y=\frac{1}{2}{x^2}-200x+45000$，
∴二氧化碳每噸的平均處理成本為$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}x+\frac{45000}{x}-200$$≥2\sqrt{\frac{1}{2}x•\frac{45000}{x}}-200=100$，-----------------（4分）
當且僅當$\frac{1}{2}$x=$\frac{45000}{x}$，即x=300時等號成立，-------------------（5分）
故該單位月處理量為300噸時，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為100元．----------------------------（6分）
（2）該單位每月能獲利．
設該單位每月獲利為S元，則
S=200x-y=-$\frac{1}{2}$x²+400x-45000=-$\frac{1}{2}$（x-400）²+35 000，--------------（9分）
因為x∈[300，600]，所以S∈[15 000，35 000]．-----------------（11分）
故該單位每月獲利，最大利潤為35000元．-----------------------（12分）

點評 此題是一道實際應用題，考查了函數(shù)的最值和基本不等式，及運用配方法求函數(shù)的最值．