14.設(shè)AB為過橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)右焦點(diǎn)F任意一條弦,若M點(diǎn)在x軸上且直線MF為∠AMB的平分線,則稱M為該橢圓的“右分點(diǎn)”.
(1)若橢圓E的離心率為$\frac{1}{2}$,右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為3,求:
①橢圓E的方程;
②“右分點(diǎn)”M的坐標(biāo);
(2)猜想橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)“右分點(diǎn)”M的位置,并證明你的猜想.

分析 (1)①由題意得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=3}\end{array}\right.$,從而求橢圓的方程;
②作出圖象,設(shè)直線AB的方程為x-1=ky,從而聯(lián)立化簡(jiǎn)可得(3k2+4)y2+6ky-9=0,再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,0),則A′(x1,-y1),從而可得y1+y2=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+4}$,y1y2=$\frac{-9}{3{k}^{2}+4}$,由$\overrightarrow{A′B}$=(x2-x1,y2+y1),$\overrightarrow{A′M}$=(x0-x1,y1),從而可得(x2-x1)y1-(y2+y1)(x0-x1)=0,從而化簡(jiǎn)求得;
(2)可判斷橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)“右分點(diǎn)”M($\frac{{a}^{2}}{c}$,0),利用②中的方法證明即可.

解答 解:(1)①由題意得,
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=3}\end{array}\right.$,
解得,a=2,c=1,b=$\sqrt{3}$;
故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1;
②作圖象如右圖,
設(shè)直線AB的方程為x-1=ky,
聯(lián)立方程可得,
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x-1=ky}\end{array}\right.$,
消x化簡(jiǎn)可得,(3k2+4)y2+6ky-9=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,0),則A′(x1,-y1),
y1+y2=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+4}$,y1y2=$\frac{-9}{3{k}^{2}+4}$,
∵$\overrightarrow{A′B}$=(x2-x1,y2+y1),$\overrightarrow{A′M}$=(x0-x1,y1),
∴(x2-x1)y1-(y2+y1)(x0-x1)=0,
即x2y1+x1y2=(y2+y1)x0,
即(1+ky2)y1+(1+ky1)y2=(y2+y1)x0
即y2+y1+2ky2y1=(y2+y1)x0,
即$\frac{-6k}{3{k}^{2}+4}$+2k$\frac{-9}{3{k}^{2}+4}$=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+4}$x0,
故x0=4;
故M(4,0);
(2)橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)“右分點(diǎn)”M($\frac{{a}^{2}}{c}$,0),證明如下,
設(shè)直線AB的方程為x-c=ky,
聯(lián)立方程可得,
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{x=ky+c}\end{array}\right.$,
消x化簡(jiǎn)可得,(b2k2+a2)y2+2kcb2y-b4=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A′(x1,-y1),
y1+y2=-$\frac{2kc^{2}}{^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$,y1y2=-$\frac{^{4}}{^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$,
∵$\overrightarrow{A′B}$=(x2-x1,y2+y1),$\overrightarrow{A′M}$=($\frac{{a}^{2}}{c}$-x1,y1),
∴(x2-x1)y1-(y2+y1)($\frac{{a}^{2}}{c}$-x1
=x2y1+x1y2-(y2+y1)$\frac{{a}^{2}}{c}$
=(c+ky2)y1+(c+ky1)y2-(y2+y1)$\frac{{a}^{2}}{c}$
=c(y2+y1)+2ky2y1-(y2+y1)$\frac{{a}^{2}}{c}$
=-c$\frac{2kc^{2}}{^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$-2k$\frac{^{4}}{^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$+$\frac{2kc^{2}}{^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$$\frac{{a}^{2}}{c}$
=$\frac{-2k({c}^{2}^{2}+^{4}-{a}^{2}^{2})}{^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$=0,
故A′,B,M三點(diǎn)共線,
故直線MF為∠AMB的平分線;
故橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)“右分點(diǎn)”M($\frac{{a}^{2}}{c}$,0).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,關(guān)鍵在于化簡(jiǎn).

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