Question

12．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）以4為周期，且函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈（-1，1]}\\{2-|x-2|，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，若滿足函數(shù)g（x）=f（x）-mx（m＞0）恰有5個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{15}}{15}$，$\frac{1}{3}$）
• B． [$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$）
• C． （$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$]
• D． （$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$]

Answer 1

分析 函數(shù)g（x）=f（x）-mx（m＞0）恰有5個(gè)零點(diǎn)時(shí)，直線y=mx與函數(shù)f（x）的圖象恰有5個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）以4為周期，且函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈（-1，1]}\\{2-|x-2|，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

當(dāng)直線y=mx過（10，2）點(diǎn)時(shí)，m=$\frac{1}{5}$，
當(dāng)直線與第二個(gè)半圓相切時(shí)，圓心（4，0）到直線y=mx的距離為1，
則m=$\frac{1}{\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
由圖可得：函數(shù)g（x）=f（x）-mx（m＞0）恰有5個(gè)零點(diǎn)時(shí)，
直線y=mx與函數(shù)f（x）的圖象恰有5個(gè)交點(diǎn)，
故m∈[$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，是解答的關(guān)鍵．