Question

15．探究函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}，x∈（0，+∞）$的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	4.8	7.57	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＞0）$在區(qū)間（0，2）上遞減；
函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＞0）$在區(qū)間[2，+∞）上遞增．
當(dāng)x=2時，y_最小=4
（1）用定義法證明：函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＞0）$在區(qū)間（0，2）遞減．
（2）思考：函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＜0）$時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

Answer 1

分析 運用表格可得f（x）在區(qū)間[2，+∞）上遞增．當(dāng)x=2時，y_最小=4．
（1）運用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟；
（2）可由f（x）為R上的奇函數(shù)，可得x＜0時，有最大值，且為-4，此時x=-2．

解答 解：由表格可得函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$（x＞0）在區(qū)間（0，2）上遞減；
函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$（x＞0）在區(qū)間[2，+∞）上遞增．
當(dāng)x=2時，y_最小=4．
（1）用定義法證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{4}{{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
由0＜x₁＜x₂＜2，可得x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
則函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＞0）$ 在區(qū)間（0，2）遞減；
（2）函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＜0）$ 時，有最大值-4；此時x=-2．
故答案為：[2，+∞），2，4．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用，考查函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題．