【題目】已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù),).

(1)若僅有一個極值點,求的取值范圍;

(2)證明:當(dāng)時,有兩個零點,且

【答案】(1);(2)證明過程見解析.

【解析】

試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),轉(zhuǎn)化不等式,再通過的大小討論即可求的取值范圍;(2)通過的范圍及的零點個數(shù),即可確定函數(shù)恒成立的條件,通過構(gòu)造函數(shù)的方法,轉(zhuǎn)化成利用導(dǎo)函數(shù)求恒成立問題.

試題解析:(1),

得到 (*)

由于僅有一個極值點,

關(guān)于的方程(*)必?zé)o解,

①當(dāng)時,(*)無解,符合題意,

②當(dāng)時,由(*)得,故由,

由于這兩種情況都有,當(dāng)時,,于是為減函數(shù),當(dāng)時,,于是為增函數(shù),∴僅的極值點,綜上可得的取值范圍是

(2)由(1)當(dāng)時,的極小值點,

又∵對于恒成立,

對于恒成立,

對于恒成立,

∴當(dāng)時,有一個零點,當(dāng)時,有另一個零點

,

,(#)

所以,

下面再證明,即證

,

由于為減函數(shù),

于是只需證明,

也就是證明,

借助(#)代換可得,

,

,

的減函數(shù),且,

恒成立,

于是的減函數(shù),即,

,這就證明了,綜上所述,

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0),右焦點為F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的兩實根分別為x1,x2,則P(x1,x2)( )

A.必在圓x2+y2=2內(nèi)

B.必在圓x2+y2=2外

C.必在圓x2+y2=1外

D.必在圓x2+y2=1與圓x2+y2=2形成的圓環(huán)之間

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市決定在其經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)一塊區(qū)域進(jìn)行商業(yè)地產(chǎn)開發(fā),截止2015年底共投資百萬元用于餐飲業(yè)和服裝業(yè),2016年初正式營業(yè),經(jīng)過專業(yè)經(jīng)濟(jì)師預(yù)算,從2016年初至2019年底的四年間,在餐飲業(yè)利潤為該業(yè)務(wù)投資額的,在服裝業(yè)可獲利該業(yè)務(wù)投資額的算術(shù)平方根.

(1)該市投資資金應(yīng)如何分配,才能使這四年總的預(yù)期利潤最大?

(2)假設(shè)自2017年起,該市決定對所投資的區(qū)域設(shè)施進(jìn)行維護(hù)保養(yǎng),同時發(fā)放員工獎金,方案如下:2017年維護(hù)保養(yǎng)費(fèi)用百萬元,以后每年比上一年增加百萬元;2017年發(fā)放員工獎金共計百萬元,以后每年的獎金比上一年增加.若該市投資成功的標(biāo)準(zhǔn)是:從2016年初到2019的底,這四年總的預(yù)期利潤中值(預(yù)期最大利潤與最小利潤的平均數(shù))不低于總投資額的,問該市投資是否成功?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】天水市第一次聯(lián)考后,某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行分析,

規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計成績后,

得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

甲班

10

乙班

30

合計

110

(1)請完成上面的列聯(lián)表;

(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按99.9%的可靠性要求,能否認(rèn)為成績與班級有關(guān)系;

(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人:把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號,先后兩次拋擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號。試求抽到9號或10號的概率。

參考公式與臨界值表:。

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:(x-1)2y2=1.直線l經(jīng)過點P(m,0),且傾斜角為,以O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.

(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程;

(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,且|PA|·|PB|=1,求實數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=loga (其中a>0,且a≠1).

(1)求函數(shù)f(x)的定義域;

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并給出證明;

(3)若x時,函數(shù)f(x)的值域是[0,1],求實數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表:

年齡(歲)

19

24

26

30

34

35

40

合計

工人數(shù)(人)

1

3

3

5

4

3

1

20

(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與平均數(shù);

(2)以十位數(shù)為莖,個位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;

(3)從年齡在24和26的工人中隨機(jī)抽取2人,求這2人均是24歲的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】三棱錐中, , △是斜邊的等腰直角三角形, 以下結(jié)論中: ① 異面直線所成的角為;② 直線平面;③ 面;④ 點到平面的距離是. 其中正確結(jié)論的序號是 ____________________ .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2axb,g(x)=ex(cxd),若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(1)求a,b,cd的值;

(2)若x≥-2時,恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

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