Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線(xiàn)x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若函數(shù)f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

（n∈N，且n≥2）．求證：f（n）≥

7

12

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把點(diǎn)P代入直線(xiàn)方程中，可得a_n+1-a_n=1，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得a_n．
（2）根據(jù)（1）中求得的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入f（n）和f（n+1），可求得f（n+1）-f（n）＞0，進(jìn)而推斷所以f（n）是單調(diào)遞增，可知f（2）是函數(shù)f（n）的最小值．

解答： 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P（a_n，a_n+1）在直線(xiàn)x-y+1=0上，
所以a_n-a_n+1+1=0，則a_n+1-a_n=1，
又a₁=1，則數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、公差的等差數(shù)列，
所以a_n=1+（n-1）•1=n；
證明：（2）由（1）得，f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

，
所以f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

則f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
所以f（n）是單調(diào)遞增，
因?yàn)閚∈N，且n≥2，f（n）的最小值是f（2）=

7

12

，
所以f（n）≥

7

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．