Question

 如圖，在直三棱柱中，平面⊥側(cè)面.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成的角為，二面角的大小為  ，當(dāng)時，求的值.

Answer 1

解：（1）證明：如右圖，作A在A₁B上的射影D.

∵平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁=A₁B，

∴AD⊥平面A₁BC，又BC⊂平面A₁BC， ∴AD⊥BC，

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A，∴BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，AB側(cè)面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

（2）〖法一〗聯(lián)結(jié)CD，則由（1）知∠ACD是直線AC與平面A₁BC所成的角，

取A₁C的中點E，連AE，DE，∵A₁A=AC，A₁A⊥BC， ∴AE⊥A₁C，

又AD⊥A₁C，∴A₁C⊥平面ADE，∴A₁C⊥DE，

∴∠AED是二面角B-A₁C-A的平面角。即∠ACD=θ，∠AED=φ，

∴，，

∵A₁A=AC=2BC=2，∴，AE=

∴.

〖法二〗由（1）知，以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)，

則A(0，，0)，C(1，0，0)，A₁ (0，，2)，

∴，，

設(shè)平面A₁BC的一個法向量為，

平面AA₁C的一個法向量為，

則，∴

取，

由，得，

取

∴，

，∴.