Question

1．（1）已知實數(shù)x，y滿足不等式x²-2x≥y²-2y，若1≤x≤4，求$\frac{y}{x}$的取值范圍；
（2）已知函數(shù)f（a）=（3m-1）a+b-2m，當(dāng)m∈[0，1]時，0≤f（a）≤1恒成立，求$\frac{9{a}^{2}+^{2}}{ab}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知求出x，y的約束條件，根據(jù)$\frac{y}{x}$的幾何意義求范圍；
（2）由已知得到a，b的約束條件0≤b-a≤1且0≤2a+b-2≤1利用線性規(guī)劃問題求出$\frac{a}$的范圍，結(jié)合基本不等式求范圍．

解答 解：（1）∵x²-2x≥y²-2y，
∴（x-y）（x+y-2）≥0，又1≤x≤4
則$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y-2≥0}\\{1≤x≤4}\end{array}}\right.$，
對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，

而$\frac{y}{x}$的幾何意義是過區(qū)域上的點和原點的直線斜率，所以當(dāng)過（4，-2）時斜率最小為-$\frac{1}{2}$，在直線y=x時斜率最大為1，
∴$\frac{y}{x}∈[{-\frac{1}{2}，1}]$…（6分）
（2）f（a）=g（m）=（3a-2）m+b-a，則g（m）∈[0，1]在m∈[0，1]時恒成立，
∴0≤g（0）≤1且0≤g（1）≤1即$\left\{\begin{array}{l}{0≤b-a≤1}\\{0≤2a+b-2≤1}\end{array}\right.$…（8分）
則由線性規(guī)劃得a，b對應(yīng)的平面區(qū)域如圖

所以$t=\frac{a}∈[{1，4}]$，…（10分）
若$\frac{{9{a^2}+{b^2}}}{ab}=t+\frac{9}{t}$，則$h（t）=t+\frac{9}{t}∈[{6，10}]$
故$\frac{{9{a^2}+{b^2}}}{ab}∈[{6，10}]$…（13分）

點評 本題考查了線性規(guī)劃的運用；關(guān)鍵是明確x，y的約束條件，利用目標函數(shù)的幾何意義求范圍．