Question

【題目】若二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）＝4x+6，且f（0）＝3．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）設(shè)g（x）＝f（x）+（a﹣2）x2+（2a+2）x，g（x）在[﹣2，+∞）單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）＝2x2+4x+3；（Ⅱ）[0，3]

【解析】

（I）采用待定系數(shù)法即可求解；

（II）先將表達(dá)式化簡(jiǎn)，得，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分為一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況求解，當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，結(jié)合開口和對(duì)稱軸的關(guān)系判斷即可

（I）設(shè)f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），∵f（x+1）﹣f（x）＝4x+6，且f（0）＝3，

∴a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝4x+6，且c＝3，整理可得，2ax+a+b＝4x+6，

∴2a＝4，a+b＝6，c＝3，∴a＝2，b＝4，c＝3，∴f（x）＝2x2+4x+3；

（II）由（Ⅰ）可知，g（x）＝f（x）+（a﹣2）x2+（2a+2）x＝ax2+（2a+6）x+3，

當(dāng)a＝0時(shí)，g（x）＝6x+3在[﹣2，+∞）單調(diào)遞增，符合題意，

當(dāng)a≠0時(shí)，對(duì)稱軸x，由g（x）在[﹣2，+∞）單調(diào)遞增可得，，解可得，0＜a≤3，

綜上可得，a的范圍[0，3]．