Question

13．已知函數(shù)f（x）=1nx-ax²（a∈R）．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最值；
（2）探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，求得極小值也為最小值，再比較端點的函數(shù)值，即可得到最大值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)并分解因式，對a討論，當a≤0時，當a＞0時，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意x＞0的限制．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=1nx-$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{（1-x）（1+x）}{x}$，
在[$\frac{1}{2}$，1）上f′（x）＞0，f（x）遞增，在（1，2]上f′（x）＜0，f（x）遞減，
則f（1）取得最小值，且為-$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$，f（2）=ln2-2，f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
即有f（$\frac{1}{2}$）取得最大值，且為ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$；
（2）函數(shù)f（x）=1nx-ax²（a∈R）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，（x＞0），
當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，即有f（x）在（0，+∞）遞增；
當a＞0時，f′（x）=$\frac{（1-\sqrt{2a}x）（1+\sqrt{2a}x）}{x}$，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，由f′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
即有f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）遞增，在（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）遞減．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查分類討論的思想方法和運算能力，屬于中檔題．