Question

19．已知橢圓C的中心為原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$．兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P為橢圓C上一點，△F₁PF₂的周長為12．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若|PF₁|：|PF₂|=11：5，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=12}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，又b²=a²-c²．聯(lián)立解出即可得出橢圓C的方程．
（2）由|PF₁|：|PF₂|=11：5，|PF₁|+|PF₂|=8，聯(lián)立解得|PF₁|，|PF₂|．又|PF₁|=a+ex_P，解得x_P．利用S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y_P|，即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=12}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2．
∴b²=a²-c²=12．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）由|PF₁|：|PF₂|=11：5，|PF₁|+|PF₂|=8，聯(lián)立解得|PF₁|=$\frac{11}{2}$，|PF₂|=$\frac{5}{2}$．
|PF₁|=a+ex_P=4+$\frac{1}{2}$x_P=$\frac{11}{2}$，解得x_P=3.${y}_{P}^{2}$=12-（1-$\frac{9}{16}$）=$\frac{21}{4}$，解得|y_P|=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y_P|=$\frac{1}{2}×4×$$\frac{\sqrt{21}}{2}$=$\sqrt{21}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．