Question

在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，若P為CD的中點，則

AP

•

BD

值為

 

；若點E為AB邊上的動點，點F是AD邊上的動點，且

AE

=λ

AB

，

AF

=（1-λ）

AD

，0≤λ≤1，則

DE

•

BF

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：通過建立直角坐標系，邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，P為CD的中點，可得A(-

3

，0)，B（0，1），C(

3

，0)，D（0，-1），P(

3

2

，-

1

2

)．利用向量的坐標運算和數(shù)量積運算可得

AP

•

BD

，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得

DE

•

BF

．

解答： 解：如圖所示，
（1）∵邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，P為CD的中點，
∴A(-

3

，0)，B（0，1），C(

3

，0)，D（0，-1），P(

3

2

，-

1

2

)．
∴

AP

=(

3 3

2

，-

1

2

)，

BD

=（0，-2）．
∴

AP

•

BD

=0-

1

2

×(-2)=1．
（2）

AB

=(

3

，1)，

AD

=(

3

，-1)．

DE

=

AE

-

AD

=λ

AB

-

AD

=(

3

λ-

3

，λ+1)，（0≤λ≤1）．

BF

=

AF

-

AB

=(1-λ)

AD

-

AB

=(-

3

λ，λ-2)．
∴

DE

•

BF

=-

3

λ(

3

λ-

3

)+(λ+1)(λ-2)
=-2λ²+2λ-2
=-2(λ-

1

2

)2-

3

2

，
∵0≤λ≤1，
∴當λ=

1

2

時，

DE

•

BF

的最大值為 -

3

2

．
故答案為：1，-

3

2

．

點評：本題考查了向量的坐標運算和數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．