Question

7．已知$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$是空間兩兩垂直的單位向量，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，且x+2y+4z=1，則|${\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}}$|的最小值為$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意設(shè)$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{OC}$=（0，0，1），求出$\overrightarrow{OP}$=（x，y，z），表示出|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，根據(jù) x+2y+4z=1表示一個(gè)平面，（x-1）²+（y-1）²+z²的值表示空間中的點(diǎn)（x，y，z）到點(diǎn)D（1，1，0）的距離，利用點(diǎn)D到此平面的距離，即可求出|${\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}}$|的最小值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{OC}$=（0，0，1），
則$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$=（x，y，z），且x+2y+4z=1，
則${\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}}$=（x-1，y-1，z），
∴|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}{+z}^{2}}$；
又 x+2y+4z=1表示一個(gè)平面，
（x-1）²+（y-1）²+z²的值表示空間中的點(diǎn)（x，y，z）到點(diǎn)D（1，1，0）的距離，
這樣的點(diǎn)在以點(diǎn)D（1，1，0）為球心的球面上，
∴（x-1）²+（y-1）²+z²的最小值是球與此平面相切時(shí)切點(diǎn)與D點(diǎn)的距離平方，
即點(diǎn)D到此平面的距離的平方；
又點(diǎn)D（1，1，0）到平面x+2y+4z=1的距離是
d=$\frac{|1×1+2×1+4×0-1|}{\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$；
∴|${\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}}$|的最小值是$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化法也坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目．