Question

已知方程2m²x²+2mx+1-m²=0（m＞1），求證：這個(gè)方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，且正根在（0，1）之間，負(fù)根在（-1，0）之間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：第一步：令函數(shù)f（x）=2m²x²+2mx+1-m²（m＞1）；
第二步：計(jì)算f（-1）、f（0）、f（1）；
第三步：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及二次函數(shù)的圖象，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，即可得原方程實(shí)根所在區(qū)間．

解答： 證明：令函數(shù)f（x）=2m²x²+2mx+1-m²，
∵m＞1，∴f（x）為一元二次函數(shù)，且
f（-1）=2m²-2m+1-m²=（m-1）²＞0，
f（0）=1-m²＜0，
f（1）=2m²+2m+1-m²=（m+1）²＞0，
f（-1）•f（0）＜0，f（0）•f（1）＜0，
由零點(diǎn)存在性定理及二次函數(shù)的圖象知，
方程2m²x²+2mx+1-m²=0（m＞1）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，
且正根在（0，1）之間，負(fù)根在（-1，0）之間．

點(diǎn)評(píng)：本題較基礎(chǔ)，主要考查了零點(diǎn)存在性定理，關(guān)鍵是理解方程的實(shí)根、函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系．