Question

已知S_n是正項數(shù)列{a_n}的前n項和，4S_n=（a_n+1）²．
（1）求S_n．
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=

2

4Sn-1

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若不等式λT_n＜n+8對于任意n∈N^*恒成立，試求λ的取值范圍．
（3）設(shè)dn=

Sn

3 Sn +1

，是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使的d₁，d_m，d_n成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知利用“n=1時，a₁=S₁；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”即可得出a_n，進而得到S_n；
（2）求出等差數(shù)列{a_n}的前n項和，代入b_n=

2

4Sn-1

整理，由裂項相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，代入不等式λT_n＜n+8后分離變量λ，利用基本不等式求出最小值后求得λ的范圍；
（3）把S_n代入d_n=

Sn

3 Sn +1

，化簡后得到d_n，結(jié)合d₁，d_m，d_n成等比數(shù)列得到關(guān)于m的不等式，進一步求得m的值，則n的值可求．

解答： 解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²，n∈N^*，∴4Sn-1=(an-1+1)2（n≥2），
兩式作差得4an=(an+1)2-(an-1+1)2，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵正項數(shù)列{a_n}，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
又n=1時，4a1=4S1=(a1+1)2，
解得a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=2n-1．
∴Sn=n+

2n(n-1)

2

=n2；
（2）b_n=

2

4Sn-1

=

2

4n2-1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
Tn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．
由λT_n＜n+8對于任意n∈N^*恒成立，得λ•

2n

2n+1

＜n+8對于任意n∈N^*恒成立，
即λ＜

(2n+1)(n+8)

2n

=

2n2+17n+8

n

=2n+

8

n

+17．
∵2n+

8

n

+17≥2

2n• 8 n

+17=25（當且僅當n=2時取等號），
∴λ＜25；
（3）d_n=

Sn

3 Sn +1

=

n2

3 n2 +1

=

n

3n+1

，
假設(shè)存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使的d₁，d_m，d_n成等比數(shù)列，
即dm2=d1dn，也就是(

m

3m+1

)2=

1

4

•

n

3n+1

，
即

m2

9m2+6m+1

=

n

12n+4

，
由

m2

9m2+6m+1

=

n

12n+4

，得

4

n

=

-3m2+6m+1

m2

，
則-3m²+6m+1＞0，解得

3-2 3

3

＜m＜

3+2 3

3

．
∵m為大于1 的整數(shù)，∴m=2．
則n=16．
故存在m=2，n=16，使得d₁，d_m，d_n成等比數(shù)列．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓練了由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性求解參數(shù)問題，屬于難題．