Question

函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），總有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）證明：對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），總有f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）；
（3）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,奇偶性與單調性的綜合

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）在題中所給函數關系式中取x₂=1，化簡即可計算出f（1）的值等于0；
（2）對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），總有f（x₁）=f（

x1

x2

•x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂），可得結論；
（3）令x₁=x₂=4，算出f（16）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．由f（x）在（0，+∞）上是增函數，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，將問題轉化為解不等式組

3x+1＞0 2x-6＞0 (3x+1)(2x-6)≤64

，即可得到滿足條件x的取值范圍．

解答： 解：（1）取x₂=1，得f（x₁×1）=f（x₁）+f（1），即f（x₁）=f（x₁）+f（1），解之得f（1）=0；
（2）對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），總有f（x₁）=f（

x1

x2

•x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂），
∴f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）；
…（8分）
（3）由f（4×4）=f（4）+f（4）且f（4）=1，得f（16）=2…（9分）
f（16×4）=f（16）+f（4）=3（10分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，
∴

3x+1＞0 2x-6＞0 (3x+1)(2x-6)≤64

，
∴3＜x≤5，
∴原不等式的解集為（3，5]…（12分）

點評：本題給出抽象函數，求特殊的函數值，并依此解關于x的不等式．著重考查了函數的單調性、不等式的解法等知識，屬于中檔題．運用“賦值法”進行求值和化簡，是解決抽象函數問題的一般方法．