Question

9．已知f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，且f（-1）=-2，又f（x）≥2x對(duì)一切x∈R都成立，則a+b=110．

Answer 1

分析 根據(jù)f（-1）=-2，建立a，b的關(guān)系，利用不等式f（x）≥2x對(duì)一切x∈R都成立，轉(zhuǎn)化為判別式△≤0，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，且f（-1）=-2，
∴f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，
即lga-lgb=1，
即lg$\frac{a}$=1，則$\frac{a}$=10，即lga=1+lgb，
則f（x）=x²+（3+lgb）x+lgb，
若f（x）≥2x對(duì)一切x∈R都成立，
即x²+（3+lgb）x+lgb≥2x，對(duì)一切x∈R都成立，
即x²+（1+lgb）x+lgb≥0恒成立，
則判別式△=（1+lgb）²-4lgb≤0，
即（1-lgb）²≤0，
則1-lgb=0，即lgb=1，則b=10，a=10b=100，
則a+b=10+100=110，
故答案為：110．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系，以及利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為一元二次不等式與判別式△的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．