Question

4．如圖，圓柱OO₁的底面圓半徑為2，ABCD為經(jīng)過圓柱軸OO₁的截面，點(diǎn)P在$\widehat{{A}{B}}$上且$\widehat{{A}{P}}=\frac{1}{3}\widehat{{A}{P}{B}}$，Q為PD上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AQ⊥PB；
（Ⅱ）若線段PD的長為$2\sqrt{3}$，求圓柱OO₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由圓柱得到結(jié)構(gòu)特征可知AP⊥BP，AD⊥平面ABP，故AD⊥BP，于是BP⊥平面ADP，從而BP⊥AQ；
（2）由$\widehat{{A}{P}}=\frac{1}{3}\widehat{{A}{P}{B}}$得∠AO₁P=60°，于是△AO₁P是等邊三角形，AP=2，在Rt△ADP中由勾股定理求出圓柱的高AD，代入體積公式．

解答 解：（1）∵AB是⊙O₁直徑，∴AP⊥BP，
∵AD⊥平面ABP，BP?平面ABP，
∴AD⊥BP，
又∵AD∩AP=A，AD?平面ADP，AP?平面ADP，
∴BP⊥平面ADP，∵AQ?平面ADP，
∴BP⊥AQ．
（2）∵$\widehat{{A}{P}}=\frac{1}{3}\widehat{{A}{P}{B}}$，
∴∠AO₁P=60°，又∵O₁A=O₁P，
∴△AO₁P是等邊三角形，
∴AP=O₁A=2，
∵AD⊥平面ABP，AP?平面ABP
AD⊥AP，∴AD═$\sqrt{D{P}^{2}-A{P}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴V${\;}_{圓柱O{O}_{1}}$=πO₁A²•AD=8$\sqrt{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，圓柱的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．