Question

1．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，其公比q＞1，且滿足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)A_n=a_n+1-2，B_n=log${\;}_{2}^{2}$a_n+1，試比較A_n與B_n的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）運用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a₃=8；
（2）運用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項，可得q的方程，求得q，即可得到所求通項公式；
（3）化簡A_n，B_n．列取n=1，2，3，4，得到大小關(guān)系，推測當1≤n≤3時，A_n＜B_n；當n≥4時，A_n＞B_n．再由數(shù)學(xué)歸納法，即可得證．

解答 解：（1）a₂a₄=64，則a₃²=64，即有a₃=8，（負數(shù)舍去）；
 （2）a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，即20=$\frac{8}{q}$+8q，
解得q=2或$q=\frac{1}{2}$（舍去），
∴$數(shù)列\(zhòng){{a_n}\}的通項公式為{a_n}={a_3}{q^{n-3}}=8•{2^{n-3}}={2^n}$．
（3）由（2）得 ${A_n}={2^{n+1}}-2$，${B_n}=log_2^2{2^{n+1}}={（n+1）^2}$，
當n=1時，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁＜B₁；
當n=2時，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂＜B₂；
當n=3時，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃＜B₃；
當n=4時，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄＞B₄；
當n=5時，A₅=62，B₅=（5+1）²=36，A₅＞B₅；
由上可猜想，當1≤n≤3時，A_n＜B_n；當n≥4時，A_n＞B_n．
下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：
①當n=4時，已驗證不等式成立．
②假設(shè)n=k（k≥4）時，A_k＞B_k．成立，即2^k+1-2＞（k+1）²，
當n=k+1時，A_k+1=2^k+2-2=2•（2^k+1-2）+2＞2•（k+1）²+2
=2k²+4k+4＞k²+4k+4=[（k+1）+1]²=B_k+1，
即當n=k+1時不等式也成立，
由①②知，當n≥4（n∈N^*）A_n＞B_n；
綜上，當1≤n≤3時，A_n＜B_n；當n≥4時，A_n＞B_n．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式，同時考查數(shù)學(xué)歸納法的運用，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．