Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+（2a﹣8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|﹣1≤x≤5}．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）f（x）≥m2﹣4m﹣9對(duì)于x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=x2+（2a﹣8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|﹣1≤x≤5}，

∴x=﹣1，x=5是方程x2+（2a﹣8）x﹣5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以﹣1+5=8﹣2a，

解得a=2

（2）解：∵a=2，∴f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，

因?yàn)閒（x）≥m2﹣4m﹣9對(duì)于x∈R恒成立，

所以﹣4≥m2﹣4m﹣9，

即m2﹣4m﹣5≤0，

解得﹣1≤m≤5，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|﹣1≤m≤5}

【解析】（1）由函數(shù)f（x）=x2+（2a﹣8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|﹣1≤x≤5}，知x=﹣1，x=5是方程x2+（2a﹣8）x﹣5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由此能求出實(shí)數(shù)a．（2）由f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，f（x）≥m2﹣4m﹣9對(duì)于x∈R恒成立，知﹣4≥m2﹣4m﹣9，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．