Question

如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A、BD⊥AC
• B、△ABC是等邊三角形
• C、平面ADC⊥平面ABC
• D、二面角A-BC-D的正切值為

  2

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)等腰直角三角形△ABC的腰為a，則斜邊BC=

2

a，
A，利用面面垂直的性質(zhì)定理易證BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，從而可知BD⊥AC，可判斷A；
B，依題意及設(shè)法可知，AB=AC=a，BD=CD=

2

2

a，利用勾股定理可求得BC=

2

•

2

2

a=a，從而可判斷B；
C，作出平面ADC與平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF為直角，∠BFD不是直角，從而可判斷C；
D，作出二面角A-BC-D的平面角∠AED，設(shè)為θ，可求得tanθ=

2

，從而可判斷D．

解答： 解：設(shè)等腰直角三角形△ABC的腰為a，則斜邊BC=

2

a，
對(duì)于A，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，
又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，BD⊥AD，BD?平面ABD，
∴BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，
∴BD⊥AC，故A正確；
對(duì)于B，由A知，BD⊥平面ADC，CD?平面ADC，
∴BD⊥CD，又BD=CD=

2

2

a，
∴由勾股定理得：BC=

2

•

2

2

a=a，又AB=AC=a，
∴△ABC是等邊三角形，故B正確；
對(duì)于C，∵△ADC為等腰直角三角形，取斜邊AC的中點(diǎn)F，則DF⊥AC，又△ABC為等邊三角形，連接BF，則BF⊥AC，

∴∠BFD為平面ADC與平面ABC的二面角的平面角，
由BD⊥平面ADC可知，∠BDF為直角，∠BFD不是直角，故平面ADC與平面ABC不垂直，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，依題意知，AD⊥底面BDC，

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AE，則AE⊥BC，
∴∠AED為二面角A-BC-D的平面角，設(shè)為θ，則tanθ=

AD

DE

=

ABsin45°

BDsin45°

=

a

2 a 2

=

2

，故D正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查線面垂直的判定與應(yīng)用，考查二面角的作圖與運(yùn)算，屬于中檔題．