Question

已知函數(shù)f（x）=x（2+a|x|），且關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為A，若[-

1

2

，

1

2

]⊆A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過(guò)討論x的范圍，得出函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，從而得出a的范圍．

解答： 解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=ax²+2x=a（x+

1

a

）²-

1

a

，
當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）=-ax²+2x=-a（x-

1

a

）²+

1

a

，
當(dāng)a=0時(shí)，A是空集，舍去，
當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)f（x）開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=-

1

a

，f（x）在x≥0上是增函數(shù)，A是空集，
二次函數(shù)g（x）開(kāi)口向下，對(duì)稱軸x=

1

a

，g（x）在x＜0上是增函數(shù)，A是空集，
當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)f（x）開(kāi)口向下，在[0，-

1

a

]上是增函數(shù)，在（

1

a

，+∞）上是減函數(shù)，
二次函數(shù)g（x）開(kāi)口向上，在（-∞，

1

a

]上是減函數(shù)，在（

1

a

，0）上是增函數(shù)，
∴a＜0時(shí)，A非空集，
對(duì)于任意的x屬于[-

1

2

，

1

2

]，f（x+a）＜f（x）成立．
當(dāng)x≤0時(shí)，g（x+a）＜g（x）=g（

2

a

-x）≤0，由g（x）區(qū)間單調(diào)性知，
x+a＜x且x+a＞

2

a

-x，解得，-1＜a＜0
當(dāng)x＞0時(shí)，

1

2

＜-

1

a

，函數(shù)f（x）在單調(diào)增區(qū)間內(nèi)滿足f（x+a）＜f（x），
∴a的取值范圍為，-1＜a＜0，
故答案為：（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．