Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

3n2-n

2

，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)任意的n＞1，都存在m∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1；當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁”即可得出；
（2）對(duì)任意的n＞1，假設(shè)都存在m∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比數(shù)列．利用等比數(shù)列的定義可得

a

2 n

=a1am，即（3n-2）²=1×（3m-2），解出m為正整數(shù)即可．

解答： （1）解：∵S_n=

3n2-n

2

，n∈N^*．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

3n2-n

2

-

3(n-1)2-(n-1)

2

=3n-2，（*）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

3×12-1

2

=1．
因此當(dāng)n=1時(shí)，（*）也成立．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3n-2．
（2）證明：對(duì)任意的n＞1，假設(shè)都存在m∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比數(shù)列．
則

a

2 n

=a1am，
∴（3n-2）²=1×（3m-2），
化為m=3n²-4n+2，
∵n＞1，
∴m=3n²-4n+2=3(n-

2

3

)2+

2

3

≥1，
因此對(duì)任意的n＞1，都存在m=3n²-4n+2∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了反證法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．