【題目】設(shè)函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,,求證:無零點.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)先求導(dǎo),根據(jù)的正負解得x的范圍,得出f(x)的單調(diào)性;
(2)令h(x)為g′(x)的分子部分,設(shè)x0為h(x)的零點,求出g(x)的最小值g(x0),根據(jù)x0的性質(zhì)和基本不等式得出g(x0)關(guān)于a的函數(shù)m(a),再根據(jù)m(a)的單調(diào)性求出m(a)的最小值即可得出結(jié)論.
(1)若,則,
.
當時,,單調(diào)遞減,
當時,,單調(diào)遞增.
的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)由可知,,
當時,,顯然沒有零點;
當時,設(shè),,在單調(diào)遞增,
又h(0)=﹣a<0,h(2)=2e﹣a>0,
∴h(x)在(0,2)上存在唯一一個零點,不妨設(shè)為x0,則x0a,
∴當x∈(0,x0)時,h(x)<0,即g′(x)<0,當x∈(x0,+∞)時,h(x)>0,
即g′(x)>0,
∴g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)的最小值為g(x0)alnx0,
∵x0a,∴﹣1,兩邊取對數(shù)可得x0﹣1=lna﹣lnx0,即lnx0=lna+1﹣x0,
∴g(x0)a(lna+1﹣x0)ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a=a﹣alna,(當且僅當x0=1時取等號),
令m(a)=a﹣alna,則m′(a)=﹣lna,
∴當a∈(0,1)時,m′(a)>0,當a∈(1,e]時,m′(a)<0,
∴m(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,e]上單調(diào)遞減.
∴當0<a≤e時,m(a)≥0,當且僅當a=e時取等號,
由x0a可知當a=1時,x0=1,故當a=e時,x0≠1,故g(x0)>m(a)≥0,
∴g(x0)>0.
∴當0≤a≤e時,g(x)沒有零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為中心,以坐標軸為對稱軸的幫圓C經(jīng)過點M(2,1),N.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)經(jīng)過點M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓C相交于異于M點的A,B兩點,當△AMB面積取得最大值時,求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社區(qū)有居民人,為了迎接第十一個“全民健身日”的到來,居委會從中隨機抽取了名居民,統(tǒng)計了他們本月參加戶外運動時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),并將數(shù)據(jù)進行整理,分為組:,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)試估計該社區(qū)所有居民中,本月戶外運動時間不小于小時的人數(shù);
(Ⅱ)已知這名居民中恰有名女性的戶外運動時間在,現(xiàn)從戶外運動時間在的樣本對應(yīng)的居民中隨機抽取人,求至少抽到名女性的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E為AB的中點,P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點,設(shè)向量=λ+μ,則λ+μ的最小值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a7﹣a2=10,且a1,a6,a21依次成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,若Sn,求n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點在拋物線:上.
(1)求的方程;
(2)過上的任一點(與的頂點不重合)作軸于,試求線段中點的軌跡方程;
(3)在上任取不同于點的點,直線與直線交于點,過點作軸的垂線交拋物線于點,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】動圓與圓相外切且與軸相切,則動圓的圓心的軌跡記,
(1)求軌跡的方程;
(2)定點到軌跡(1)上任意一點的距離的最小值;
(3)經(jīng)過定點的直線,試分析直線與軌跡的公共點個數(shù),并指明相應(yīng)的直線的斜率是否存在,若存在求的取值或取值范圍情況.
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