Question

17．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$；
（2）y=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$．

Answer 1

分析 （1）利用換元法，結(jié)合根式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)，利用分子常數(shù)化，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：（1）設(shè)t=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，則t∈（0，2]，
∵y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t在（0，2]上是減函數(shù)，∴y≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$2=-1，
即函數(shù)的值域?yàn)閇-1，+∞）．
（2）y=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=$\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
當(dāng)2^x＞1時(shí)，2^x-1＞0，則$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＞0，1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＞1，
當(dāng)0＜2^x＜1時(shí)，-1＜2^x-1＜0，則$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＜-2，1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＜-1，
即y＞1或y＜-1，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法以及分子常數(shù)化將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．