Question

8．（1）求證：$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$；
（2）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求證：$\frac{1+b}{a}$和$\frac{1+a}$中至少有一個(gè)小于2．

Answer 1

分析 （1）利用分析法，和兩邊平方法，
（2）利用了反證法，假設(shè)假設(shè)$\frac{1+b}{a}$≥2，$\frac{1+a}$≥2，推得即a+b≤2，這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立

解答 解：（1）要證$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
只需證（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）²＞（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$）²；
即證13+2$\sqrt{42}$＞13+2$\sqrt{40}$，
即證$\sqrt{42}$＞$\sqrt{40}$
而上式顯然成立，故原不等式成立．
（2）證明：假設(shè)$\frac{1+b}{a}$≥2，$\frac{1+a}$≥2，
∵a＞0，b＞0，
∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+b+1+a≥2（a+b）
即 a+b≤2
這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了推理論證的兩種方法分析法和反證法，屬于中檔題．