Question

6．如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．
（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率．
（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A_i表示“此人于3月i日到達(dá)該市”，（i=1，2，…，13），根據(jù)題意，P（A_i）=$\frac{1}{13}$，且A_i∩_j=∅（i≠j），設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則B=A₅∪A₈，由此能求出此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率．
（Ⅱ）由題意知X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：：（Ⅰ）設(shè)A_i表示“此人于3月i日到達(dá)該市”，（i=1，2，…，13），
根據(jù)題意，P（A_i）=$\frac{1}{13}$，且A_i∩_j=∅（i≠j），
設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則B=A₅∪A₈，
∴此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率：
P（B）=P（A₅）+P（A₈）=$\frac{1}{13}$+$\frac{1}{13}$=$\frac{2}{13}$．
（Ⅱ）由題意知X的所有可能取值為0，1，2，
P（X=1）=P（A₃∪A₆∪A₇∪A₁₁）=$\frac{4}{13}$，
P（X=2）=P（A₁∪A₂∪A₁₂∪A₁₃）=$\frac{4}{13}$，
P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=$\frac{5}{13}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{13}$	$\frac{4}{13}$	$\frac{4}{13}$

EX=$0×\frac{5}{13}$+$1×\frac{4}{13}$+2×$\frac{4}{13}$=$\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率計(jì)算及其分布列、數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．