Question

11．已知函數(shù)f（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$．
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（Ⅲ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分母不為0，求f（x）的定義域；
（Ⅱ）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷、證明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）x＞0時，f（x）＞1，即可求f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）由2^x-1≠0，可得x≠0，
∴函數(shù)的定義域為{x|x≠0}．
（Ⅱ）奇函數(shù)
證明：f（-x）=1+$\frac{2}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{-1-{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$=-1-$\frac{2}{{2}^{x}-1}$=-f（x）．
∴f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅲ）x＞0時，f（x）＞1，
∴值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）

點評 本題給出含有分式的指數(shù)形式的函數(shù)，求函數(shù)的定義域并求函數(shù)的奇偶性、值域．著重考查了函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)的定義域及其值域的求法等知識，屬于中檔題．