Question

畫出函數(shù)f（x）=cosx+xsinx的大致圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先求f′（x）=xcosx，設(shè)g（t）=f′（t）=tcost，由g（t）為奇函數(shù)，可得f（x）在（-

π

2

，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，

π

2

）內(nèi)遞增，又由f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x）可得f（x）為偶函數(shù)，且f（-

π

2

）=-

π

2

，f（

π

2

）=

π

2

，f（0）=1，從而可畫出函數(shù)f（x）=cosx+xsinx的大致圖象．

解答： 解：f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
設(shè)g（t）=f′（t）=tcost
g（t）為奇函數(shù)，且t∈（0，

π

2

）時(shí)，cost＞0，此時(shí)g（t）＞0，
當(dāng)t∈（-

π

2

，0）時(shí)，cost＞0，此時(shí)g（t）＜0，
所以在（-

π

2

，

π

2

）內(nèi)g（t）=tcost的圖象大致為：

所以f（x）在（-

π

2

，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，

π

2

）內(nèi)遞增．
f（x）=xsinx+cosx
f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)，
f（-

π

2

）=-

π

2

，f（

π

2

）=

π

2

，f（0）=1
∴f（x）=xsinx+cosx的圖象大致為：

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，五點(diǎn)法作圖，考查了轉(zhuǎn)化思想，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．