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已知函數f(x)=
a
2
x2-bx+lnx (a,b
∈R).
(Ⅰ) 若a=b=1,求f(x)點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ) 設a≤0,求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅲ) 設a<0,且對任意的x>0,f(x)≤f(2),試比較ln(-a)與-2b的大。
考點:利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性
專題:計算題,分類討論,導數的概念及應用,導數的綜合應用
分析:(Ⅰ)寫出a=b=1時的函數f(x),求導,求出切線的斜率和切點,求得切線方程;
(Ⅱ)求出函數的導數,討論當a=0時,①若b≤0,②若b>0,當a<0時,分別求出單調增區(qū)間和減區(qū)間;
(Ⅲ)由題意知函數f(x)在x=2處取得最大值.由( I I)知,
b-
b2-4a
2a
是f(x)的唯一的極大值點,將ln(-a)與-2b作差,令g(x)=lnx+1-4x(x>0),運用導數,判斷單調性,即可比較.
解答: 解:(Ⅰ) a=b=1時,f(x)=
1
2
x2-x+lnx
,f′(x)=x-1+
1
x
,
f(1)=-
1
2
,k=f'(1)=1,
故f(x)點(1,f(1))處的切線方程是2x-2y-3=0.
(Ⅱ)由f(x)=
a
2
x2-bx+lnx ,x∈(0 ,  +∞)
,
f′(x)=
ax2-bx+1
x

(1)當a=0時,f′(x)=
1-bx
x

①若b≤0,
由x>0知f'(x)>0恒成立,即函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,+∞).
②若b>0,
0<x<
1
b
時,f'(x)>0;當x>
1
b
時,f'(x)<0.
即函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,
1
b
),單調遞減區(qū)間是(
1
b
,+∞).
(2)當a<0時,f'(x)=0,得ax2-bx+1=0,
由△=b2-4a>0得x1=
b+
b2-4a
2a
,x2=
b-
b2-4a
2a

顯然,x1<0,x2>0,
當0<x<x2時,f'(x)>0,函數f(x)的單調遞增,
當x>x2時,f'(x)<0,函數f(x)的單調遞減,
所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,
b-
b2-4a
2a
),單調遞減區(qū)間是(
b-
b2-4a
2a
,+∞).
綜上所述:當a=0,b≤0時,函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,+∞);
當a=0,b>0時,函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,
1
b
),單調遞減區(qū)間是(
1
b
,+∞);
當a<0時,函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,
b-
b2-4a
2a
),
單調遞減區(qū)間是(
b-
b2-4a
2a
,+∞). 
(Ⅲ)由題意知函數f(x)在x=2處取得最大值.
由( I I)知,
b-
b2-4a
2a
是f(x)的唯一的極大值點,
b-
b2-4a
2a
=2,整理得-2b=-1-4a.
于是ln(-a)-(-2b)=ln(-a)-(-1-4a)=ln(-a)+1+4a
令g(x)=lnx+1-4x(x>0),則g′(x)=
1
x
-4

令g'(x)=0,得x=
1
4
,當x∈(0 ,  
1
4
)
時,g'(x)>0,g(x)單調遞增;
x∈(
1
4
 ,  +∞)
時,g'(x)<0,g(x)單調遞減.
因此對任意x>0,g(x)≤g(
1
4
)=ln
1
4
<0
,又-a>0,
故g(-a)<0,即ln(-a)+1+4a<0,即ln(-a)<-1-4a=-2b,
∴l(xiāng)n(-a)<-2b.
點評:本題考查導數的運用:求切線方程,求單調區(qū)間和極值、最值,考查分類討論的思想方法,考查運算能力,屬于中檔題.
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如圖為一個幾何體的三視圖,其中俯視圖為正三角形,AB=4,CD=
3
,則該幾何體的表面積為( 。
A、6+
3
B、24+
3
C、24+2
3
D、32

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1
2
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A、8
B、-8
C、
1
8
D、-
1
8

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(5
1
16
0.5+(-1)-1÷0.75-2+(2
10
27
 -
2
3
=( 。
A、
9
4
B、
4
9
C、-
9
4
D、-
4
9

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使(3-2x-x2 -
3
4
有意義的x的取值范圍是(  )
A、R
B、x≠1且x≠3
C、-3<x<1
D、x<-3或x>1

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