Question

求下列函數(shù)的定義域：
（1）f（x）=

4-x

+log₃（x+1）
（2）f（x）=

1-log2(4x-5)

（3）解關(guān)于x的不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）（2）根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，構(gòu)造關(guān)于x的不等式組，解不等式組，可得函數(shù)的定義域．
（3）根據(jù)使不等式有意義的原則，求出x的范圍，進(jìn)而分當(dāng)0＜a＜1時(shí)和當(dāng)a＞1時(shí)，兩種情況，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，解得答案．

解答： 解：（1）要使函數(shù)f（x）=

4-x

+log₃（x+1）的解析式有意義，自變量x須滿足：

4-x≥0 x+1＞0

，
解得：-1＜x≤4，
故函數(shù)f（x）=

4-x

+log₃（x+1）的定義域?yàn)椋?1，4]；
（2）要使函數(shù)f（x）=

1-log2(4x-5)

的解析式有意義，自變量x須滿足：
1-log₂（4x-5）≥0，
即log₂（4x-5）≤1，
即0＜4x+5≤2
解各：-

5

4

＜x≤-

3

4

，
故函數(shù)f（x）=

1-log2(4x-5)

的定義域?yàn)椋海?span id="dfphzpp" class="MathJye">-

5

4

，-

3

4

]；
（3）要讓不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）有意義，變量x須滿足：

x-1＞0 x2+x-6＞0

，
解得：x＞2，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）可化為：x-1≥x²+x-6，
即x²-5≤0，解得：-

5

≤x≤

5

，
故此時(shí)不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）的解集為：（2，

5

]，
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）可化為：x-1≤x²+x-6，
即x²-5≥0，解得：x≤-

5

，或x≥

5

，
故此時(shí)不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）的解集為：[

5

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的定義域時(shí)要注意：（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實(shí)際意義（如長(zhǎng)度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個(gè)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這幾個(gè)函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域?yàn)榭占�，則函數(shù)不存在．（4）對(duì)于（4）題要注意：①對(duì)在同一對(duì)應(yīng)法則f 下的量“x”“x+a”“x-a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（x）中的x的范圍．