Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q分別是BC、C₁D₁、AD₁、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求AC與EF所成的角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)D₁E，則PQ∥D₁C，由此能證明PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）連結(jié)EQ，D₁Q，由題意得EQ

∥

.

1

2

DC

∥

.

D₁F，從而D₁Q∥EF，由D₁Q⊥AC，得EF⊥AC，由此能求出AC與EF所成角．

解答： （1）證明：連結(jié)D₁E，
∵P，Q分別為AD₁，AC的中點(diǎn)，
∴PQ∥D₁C，
∵D₁C?平面DCC₁D₁，PQ?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）解：連結(jié)EQ，D₁Q，
由題意得EQ

∥

.

1

2

DC

∥

.

D₁F，
∴D₁Q∥EF，
在△ACD₁中，∵D₁A=DC，AQ=QC，
∴D₁Q⊥AC，∴EF⊥AC，
∴AC與EF所成角為90°．

點(diǎn)評：本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運(yùn)用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．