Question

3．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{12}$		$\frac{7π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	2		-2	0

（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程|f（x）|=m在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的圖象的方法，將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，直接寫出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）令t=2x+$\frac{π}{3}$，可求t∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，并做出函數(shù)y=2|sint|的圖象，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合有兩個(gè)交點(diǎn)數(shù)形結(jié)合即可得解m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)可得：A=2，$\frac{π}{12}$ω+φ=$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{12}$ω+φ=$\frac{3π}{2}$，
解得ω=2，φ=$\frac{π}{3}$，數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
Asin（φx+φ）	0	2	0	-2	0

且函數(shù)表達(dá)式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）令t=2x+$\frac{π}{3}$，
由于x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，t∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，函數(shù)y=2|sint|的圖象如圖所示：

又∵y=m與y=2|sint|圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴m的取值范圍是{m|0＜m＜$\sqrt{3}$或m=2}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了作圖能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．