Question

14．如圖：PA為⊙O的切線，A為切點，割線PBC過圓心O，PA=10，PB=5，則AC長為$6\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 連接AB，利用切割線定理先求出PC，進而求出BC；在Rt△ABC中，利用勾股定理有BC²=AC²+AB²①；再利用弦切角定理，可知∠PAB=∠BAC，再加上一組公共角，可證△PAB∽△PCA，那么就有PC：AC=PA：AB②；兩式聯(lián)合可求AC．

解答 解：連接AB，根據(jù)切割線定理有，
PA²=PB•PC，
∴10²=5×（5+BC），
解得BC=15，
又∵∠PAB=∠PCA，∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
∴PA：AB=PC：AC，
∴10：AB=20：AC①；
∵BC是直徑，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AB²+AC²=15²②；
①②聯(lián)立解得AC=$6\sqrt{5}$．
故答案為：$6\sqrt{5}$．

點評 本題利用了切割線定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識．