空間四邊形的四條邊長度相等,則順次連接這個四邊形各邊中點所得的圖形是


  1. A.
    矩形
  2. B.
    菱形
  3. C.
    正方形
  4. D.
    等腰梯形
A
分析:作出空間四邊形ABCD如圖,設(shè)四邊形EFGH是順次連接各邊中點而得的四邊形,利用三角形中位線定理可證出四邊形EFGH是平行四邊形.再由線面垂直的判定與性質(zhì),可證出EF、EH互相垂直,從而得到四邊形EFGH是矩形.
解答:如圖設(shè)空間四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA,E、F、G、H分別是各邊的中點,
四邊形EFGH是順次連接E、F、G、H而得的四邊形
取BD中點M,連接AM、CM、AC、BD
∵EH是△ABD的中位線,∴EH∥BD,且EH=BD
同理可得:FG∥BD,且FG=BD
∴EH∥FG且EH=FG,可得四邊形EFGH是平行四邊形
∵△ABD中,AB=AD,M為BD中點,∴AM⊥BD
同理可得CM⊥BD,
結(jié)合AM、CM是平面ACM內(nèi)的相交直線,可得BD⊥平面ACM
∵AC?平面ACM,∴BD⊥AC
∵EF∥AC且EH∥BD,∴EF⊥EH
由此可得:四邊形EFGH是矩形
故選:A
點評:本題給出四邊相等的空間四邊形,求順次連接各邊中點所得四邊形的形狀.著重考查了空間垂直、平行位置關(guān)系的證明和三角形中位線定理等知識,屬于基礎(chǔ)題.
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